11/10/2016

Matematica e democrazia


In questi ultimi mesi si sta discutendo molto di costituzione, di referendum, dei vari dibattiti in televisione, di chi voterà sì e di chi voterà no, di chi voterà per partito politico o opinioni personali che con la riforma c'entrano quanto Gesù Cristo o la patafisica e infine di chi la riforma non l'ha neanche letta. Ma non voglio parlarvi di questo oggi, piuttosto voglio spostare i riflettori dall'oggetto del voto al voto stesso: grazie al referendum costituzionale abbiamo avuto modo di parlare dell'Italicum, la nostra attuale legge elettorale. Noi tutti siamo familiari con il sistema democratico dei nostri stati, ci siamo nati e cresciuti, ma ci siamo mai chiesti  il perché di tutti questi diversi sistemi elettorali (Porcellum, Italicum, ...)?

Per affrontare meglio la domanda immaginate di tornare bambini ed entrare nella palestra della vostra scuola: è appena iniziata l'ora di Educazione Fisica e la professoressa vi propone tre giochi tra cui scegliere; potrete giocare a dodgeball, basket o pallavolo. Per essere equa la professoressa ha deciso che sarà la classe, votando, a scegliere il gioco. La seguente tabella indica ipoteticamente le preferenze degli studenti, a titolo d'esempio saranno 4 gli studenti che preferiscono il basket al dodgeball e alla pallavolo e il dodgeball alla pallavolo (B > D > V).


La professoressa decide di utilizzare il metodo di voto più semplice: vi chiede quindi di indicare su un foglio di carta una sola preferenza (lo sport a cui vorreste giocare). Il metodo utilizzato viene chiamato FPTP (First-Past-The-Post) e dà come vincitore la pallavolo.
Ma alcuni studenti non sono per nulla soddisfatti e chiedono alla professoressa di ripetere la votazione in quanto proprio non sopportano la pallavolo, ma sarebbero felici di giocare a basket o dodgeball. La votazione viene ripetuta e per cercare di essere più corretta la professoressa vi chiede di indicare sul foglio lo sport a cui non volete giocare: il gioco che riceverà meno voti sarà il vincitore. Con questo sistema elettorale (detto Anti-plurality voting) il dodgeball risulta vincitore.
Ma alcuni studenti non sono ancora soddisfatti: il tuo vicino di banco si alza in piedi e dice: "Il basket è sicuramente il mio sport preferito, la pallavolo è ok, ma detesto decisamente il dodgeball". Questo induce la professoressa a provare un nuovo sistema elettorale: il Metodo Borda o Borda Count; vi viene chiesto di indicare in ordine le vostre preferenze, saranno poi assegnati 2 punti alla prima, 1 alla seconda e 0 alla terza. Con questo metodo lo sport vincitore è il basket.

Che dilemma: tre diversi metodi danno come vincitore tre diversi sport; la domanda sorge spontanea: se esiste, qual è il sistema elettorale corretto?

In una delle sue pubblicazioni, nel 1951, Kenneth Arrow (poi premio Nobel per l'economia nel 1972) si pone la stessa domanda e definisce come perfetto e democratico un sistema elettorale che soddisfi queste condizioni:
  • Non dittatorialità: il sistema elettorale deve essere non dittatoriale; il voto del cittadino non può in alcun modo essere modificato da enti esterni.
  • Efficienza paretiana:  se tutti i votanti preferiscono un'opzione A ad una B allora anche il sistema elettorale deve preferire A a B.
  • Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA): se in una votazione con più opzioni ci si concentra ad un sottoinsieme di opzioni per determinare con il sistema elettorale quale delle due sia la prediletta questo risultato deve essere compatibile con quello ottenuto applicando il sistema all'intero insieme delle opzioni (ossia, se A, B e C sono le opzioni e concentrandosi su A e B si ottiene che A > B allora deve valere A > B anche includendo C; si potrà avere quindi C > A > B, A > B > C e A > C > B ma non B > A > C o qualsiasi altro caso in cui B > A).
Da queste premesse Arrow dimostra, con strumenti di logica matematica, il suo teorema di impossibilità che afferma:

"Se il gruppo di cittadini votanti comprende almeno due individui e l'insieme delle alternative possibili almeno tre opzioni, non è possibile costruire una funzione di scelta sociale che soddisfi al contempo tutti i requisiti sopra enunciati."

Qual è il significato di questo teorema? Rappresenta la fine della democrazia?
No, non è la fine della democrazia, al massimo ne mette in luce l'imperfezione e di conseguenza l'illegittimità ad esportarla con le guerre (vero Bush?), ma è invece un ottimo spunto di riflessione sul valore del voto e sull'imperativo obbligo di informarsi non solo su cosa votare, ma anche su come quel voto sarà trattato.

Ricordatevi che se il vostro voto sarà calpestato e spogliato del suo valore anche voi subirete lo stesso trattamento.

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